Question

12．若不等式x²-ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，则椭圆$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的离心率为$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

Answer 1

分析 由题意可得1，2为方程x²-ax+b=0的解，运用韦达定理可得a，b，再由椭圆的基本量的关系可得c，运用离心率公式即可得到所求值．

解答 解：不等式x²-ax+b＜0的解集为{x|1＜x＜2}，
可得1，2为方程x²-ax+b=0的解，
即有1+2=a，1×2=b，
即a=3，b=2，c=$\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}$=$\sqrt{5}$，
则离心率e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{5}}{3}$．
故答案为：$\frac{\sqrt{5}}{3}$．

点评 本题考查椭圆的离心率的求法，同时考查二次不等式的解法，考查运算能力，属于基础题．