Question

2．一果农种植了1000棵果树，为估计其产量，从中随机选取20棵果树的产量（单位：kg）作为样本数据，得到如图所示的频率分布直方图．已知样本中产量在区间（45，50]上的果树棵数为8，．
（Ⅰ）求频率分布直方图中a，b的值；
（Ⅱ）根据频率分布直方图，估计这20棵果树产量的中位数；
（Ⅲ）根据频率分布直方图，估计这1000棵果树的总产量．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由频率=$\frac{频数}{样本容量}$，利用频率和为1，即可求出a、b的值；
（Ⅱ）利用频率分布直方图中中位数两侧的频率相等，列出方程求出中位数x；
（Ⅲ）求出这20棵果树产量的平均数$\overline{x}$，用样本数据估计总体的产量即可．

解答 解：（Ⅰ）由样本中产量在区间（45，50]上的果树棵数为8，
得a×5×20=8，解得a=0.08；
又因为5×（0.06+0.08+b+0.02）=1，
解得b=0.04，
所以a=0.08，b=0.04；
（Ⅱ）设这20棵果树产量的中位数为x，
因为样本中产量在区间（40，45]上的频率为0.06×5=0.03，
样本中产量在区间（45，50]上的频率为0.08×5=0.4，
所以中位数在区间（45，50]内，
令0.06×5+（x-45）×0.08=0.5，
解得x=47.5，
所以估计这20棵果树产量的中位数为47.5；
（Ⅲ）设这20棵果树产量的平均数是$\overline{x}$，
则$\overline{x}$=5×（42.5×0.06+47.5×0.08+52.5×0.04+57.5×0.02）=48（kg）；
根据样本数据估计这1000棵果树的总产量为48×1000=48000（kg）．

点评 本题考查了频率分布直方图的应用问题，也考查了频率、中位数与平均数的计算问题，是基础题目．