Question

12．在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且（2b-a）cosC=ccosA．
（1）求角C的大小；
（2）若sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB，c=3，求△ABC的面积．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知等式可得：（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，利用三角形内角和定理整理可得2sinBcosC=sinB，由sinB≠0，解得cosC=$\frac{1}{2}$，结合范围0＜C＜π，可求C的值．
（2）设△ABC外接圆的半径为R 由题意得2R=$\frac{c}{sinC}=\frac{3}{{sin\frac{π}{3}}}$=2$\sqrt{3}$，由sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB得a+b=$\sqrt{2}$ab，由余弦定理得（a+b）-3ab-9=0，联立解得ab的值，利用三角形面积公式即可得解．

解答 解：（1）由于（2b-a ）cosC=ccosA，由正弦定理得（2sinB-sinA）cosC=sinCcosA，
即2sinBcosC=sinAcosC+sinCcosA，即2sinBcosC=sin（A+C），可得：2sinBcosC=sinB，
因为sinB≠0，所以cosC=$\frac{1}{2}$，
因为0＜C＜π，所以C=$\frac{π}{3}$．
（2）设△ABC外接圆的半径为R 由题意得2R=$\frac{c}{sinC}=\frac{3}{{sin\frac{π}{3}}}$=2$\sqrt{3}$，
由sinA+sinB=2$\sqrt{6}$sinAsinB得，2R（a+b）=2$\sqrt{6}$ab，即a+b=$\sqrt{2}$ab，①
由余弦定理得，a²+b²-ab=9，即（a+b）-3ab-9=0，②
将①式代入②得2（ab）²-3ab-9=0，解得 ab=3或ab=-$\frac{3}{2}$（舍去），
所以S_△ABC=$\frac{1}{2}$absinC=$\frac{{3\sqrt{3}}}{4}$．

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式，余弦函数的图象和性质在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．