Question

4．已知抛物线C：x²=4y的焦点为F，过点D（0，-1）的直线l与抛物线C交于不同的A、B两点．
（Ⅰ）若$|{AB}|=4\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（Ⅱ）记FA、FB的斜率分别为k₁、k₂，试问：k₁+k₂的值是否随直线l位置的变化而变化？证明你的结论．

Answer 1

分析 （Ⅰ）设l：y=kx-1代入x²=4y得：x²-4kx+4=0，利用弦长公式，结合$|{AB}|=4\sqrt{3}$，求直线l的方程；
（Ⅱ）利用斜率公式，结合由韦达定理，由此能够得到k₁+k₂为定值．

解答 解：（Ⅰ）根据题意，可设l：y=kx-1，…（1分）
代入x²=4y得：x²-4kx+4=0，令△=16k²-16＞0?|k|＞1，…（2分）
设A（x₁，y₁）、B（x₂，y₂），∴x₁+x₂=4k，x₁x₂=4，…（3分）
∴$|{AB}|=\sqrt{（1+{k^2}）{{（{x_1}-{x_2}）}^2}}=\sqrt{（1+{k^2}）[{{{（{x_1}+{x_2}）}^2}-4{x_1}{x_2}}]}$=$\sqrt{（1+{k^2}）（16{k^2}-16）}=4\sqrt{{k^4}-1}$，…（5分）
∵$|{AB}|=4\sqrt{3}$，∴${k^4}-1=3⇒k=±\sqrt{2}∈（-∞，-1）∪（1，+∞）$，…（6分）
∴$l：y=±\sqrt{2}x-1$；  …（7分）
（Ⅱ）∵F（0，1），∴${k_1}+{k_2}=\frac{{{y_1}-1}}{x_1}+\frac{{{y_2}-1}}{x_2}=\frac{{{x_2}（{y_1}-1）+{x_1}（{y_2}-1）}}{{{x_1}{x_2}}}$=$\frac{{{x_2}（k{x_1}-2）+{x_1}（k{x_2}-2）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{{2k{x_1}{x_2}-2（{x_1}+{x_2}）}}{{{x_1}{x_2}}}=\frac{8k-8k}{4}=0$，…（11分）
∴k₁+k₂的值不随直线l位置的变化而变化．    …（12分）

点评 本题考查直线与抛物线位置关系的综合应用，考查运算求解能力，推理论证能力；考查化归与转化思想．综合性强，难度大，有一定的探索性，对数学思维能力要求较高．