Question

16．在平面直角坐标系xOy中，圆C的方程为（x-2）²+y²=1，点P在直线l：x+y+1=0上，若过点P存在直线m与圆C交于A，B两点，且点A为PB中点，则点P的恒坐标的取值范围是[-1，2]．

Answer 1

分析 设点P（x₀，-x₀-1），B（2+cosθ，sinθ），求出A的坐标，代入圆C：（x-2）²+y²=1，利用辅助角公式，即可确定点P横坐标x₀的取值范围．

解答 解：设点P（x₀，-x₀-1），B（2+cosθ，sinθ），则
由条件得A点坐标为x=$\frac{1}{2}$（x₀+2+cosθ），y=$\frac{1}{2}$（sinθ-x₀-1），
从而[$\frac{1}{2}$（x₀+2+cosθ）-2]²+[$\frac{1}{2}$（sinθ-x₀-1）]²=1，
整理得（x₀-2）cosθ-（x₀+1）sinθ+x₀²-x₀+1=0，
从而$\sqrt{2{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+5}$sin（θ+α）=-x₀²+x₀-1，
于是由$\sqrt{2{{x}_{0}}^{2}-2{x}_{0}+5}$≥|-x₀²+x₀-1|，解得-1≤x₀≤2．
故答案为：[-1，2]．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查参数法的运用，考查学生的计算能力，属于中档题．