Question

1．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的左、右焦点分别是F₁（-c，0）、F₂（c，0），若离心率$e=\frac{{\sqrt{5}-1}}{2}$（e≈0.618），则称椭圆C为“黄金椭圆”．则下列三个命题中正确命题的个数是（　　）
①在黄金椭圆C中，a、b、c成等比数列；
②在黄金椭圆C中，若上顶点、右顶点分别为E、B，则∠F₁EB=90°；
③在黄金椭圆C中，以A（-a，0）、B（a，0）、D（0，-b）、E（0，b）为顶点的菱形ADBE的内切圆过焦点F₁、F₂．

• A． 0
• B． 1
• C． 2
• D． 3

Answer 1

分析 对于①，由e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得e²+e-1=0，运用离心率公式和等比数列的中项的性质，即可判断；
对于②，求出即有$\overrightarrow{E{F}_{1}}$=（-c，-b），$\overrightarrow{EB}$=（a，-b），运用向量的数量积的坐标表示，即可判断；
对于③，设内切圆的半径为r，由四边形ADEB的面积可为四个三角形的面积，化简整理计算可得半径r=c，即可判断．

解答 解：对于①，由e=$\frac{\sqrt{5}-1}{2}$，可得e²+e-1=0，由e=$\frac{c}{a}$，a²-c²=b²，可得c²+ac-a²=0，即ac=b²，
则a，b，c成等比数列，故①正确；
对于②，在黄金椭圆C中，上顶点、右顶点分别为E（0，b）、B（a，0），即有$\overrightarrow{E{F}_{1}}$=（-c，-b），
$\overrightarrow{EB}$=（a，-b），由①即有$\overrightarrow{E{F}_{1}}$•$\overrightarrow{EB}$=-ac+b²=0，则∠F₁EB=90°，故②正确；
对于③，设内切圆的半径为r，由四边形ADEB的面积可为四个三角形的面积，可得
$\frac{1}{2}$•2a•2b=4•$\frac{1}{2}$r•$\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}$，解得r=$\frac{ab}{\sqrt{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}{b}^{2}}{{a}^{2}+{b}^{2}}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{3}c}{{a}^{2}+ac}}$=$\sqrt{\frac{{a}^{2}c}{\frac{{a}^{2}}{c}}}$=c，则内切圆过焦点，
故③正确．
故选：D．

点评 本题考查椭圆的方程和性质，注意运用离心率的公式，考查数量积的运用判断直角，同时考查四边形的内切圆的性质，考查化简整理的运算能力，属于中档题．