Question

6．给出下列命题：
①双曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1有相同的焦点；
②过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y²=$\frac{1}{2}$x；
③已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，若它的离心率为$\sqrt{5}$，则双曲线C的一条渐近线方程为y=2x；
④椭圆$\frac{{x}^{2}}{m+1}$+$\frac{{y}^{2}}{m}$=1的两个焦点为F₁，F₂，P为椭圆上的动点，△PF₁F₂的面积的最大值为2，则m的值为2．
其中真命题的序号为①③．（写出所有真命题的序号）

Answer 1

分析 对4个命题分别进行判断，即可得出结论．

解答 解：①因为两个曲线的焦点都在x轴上，半焦距c相等都是$\sqrt{34}$，所以双曲线$\frac{{x}^{2}}{25}$-$\frac{{y}^{2}}{9}$=1与椭圆$\frac{{x}^{2}}{35}$+y²=1有相同的焦点，正确；
②过点P（2，1）的抛物线的标准方程是y²=$\frac{1}{2}$x，还有一条焦点在y轴上的抛物线，不正确；
③已知双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1，若它的离心率为$\sqrt{5}$，则$\frac{c}{a}$=$\sqrt{5}$，$\frac{b}{a}$=2，∴双曲线C的一条渐近线方程为y=2x，正确；
④由解析式知，半焦距长为1，△PF₁F₂的面积的最大值为2，即bc=2．可得b=2，故m=4，不正确．
故答案为：①③．

点评 本题考查了椭圆与双曲线的定义、焦点坐标和离心率等知识，是中档题．