Question

16．若0＜α＜$\frac{π}{2}$，利用三角函数线证明：
（1）sinα＜α＜tanα；
（2）sinα+cosα＞1．

Answer 1

分析 （1）由题意作出三角函数线，进而比较S_△AOP，S_扇形AOP，S_△AOT的大小，可得答案．
（2）作出对应的正弦线和余弦线，利用两边之和大于第三边进行比较即可．

解答 证明：（1）在直角坐标系中结合单位圆作出锐角α的正弦线和正切线，
由图可知sinα=MP，α=$\widehat{AP}$，tanα=AT，
∵S_△AOP=$\frac{1}{2}$×MP×1=$\frac{1}{2}$sinα，
S_扇形AOP=$\frac{1}{2}$×$\widehat{AP}$×1=$\frac{1}{2}$α，
S_△AOT=$\frac{1}{2}$×AT×1=$\frac{1}{2}$tanα，
∵S_△AOP＜S_扇形AOP＜S_△AOT，
∴MP＜$\widehat{AP}$＜AT，
即sinα＜α＜tanα，
（2）∵0＜α＜$\frac{π}{2}$，
∴设角α的终边与单位圆交于点P（x，y）时，过P作PM⊥x轴于点M，（如图），
则sinα=MP，cosα=OMP，利用三角形两边之和大于第三边有：sinα+cosα=MP+OM＞1．

点评 本题主要考查任意角的三角函数的定义，用单位圆中的三角函数线表示三角函数的值，属于基础题．