Question

1．已知公差大于零的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且满足a₃a₄=117，a₂+a₅=22．
（1）求{a_n}的通项公式．
（2）等差数列{b_n}的通项公式为b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$，求非零常数c的值．

Answer 1

分析 （1）利用等差数列的性质，联立方程可得a₃，a₄，代入等差数列的通项公式可求a_n；
（2）代入等差数列的前n和公式可求S_n，进一步可得b_n，然后结合等差数列的性质可得2b₂=b₁+b₃，从而可求c．

解答 解：（1）设公差为d（d＞0），由等差数列的性质可得，
a₂+a₅=a₃+a₄=22，
又a₃a₄=117，
解得a₃=9，a₄=13，
即有d=a₄-a₃=4，a₁=9-2×4=1，
则a_n=1+（n-1）×4=4n-3；
（2）由（1）知，S_n=n+$\frac{n（n-1）}{2}$×4=2n²-n，
由b_n=$\frac{{S}_{n}}{n+c}$=$\frac{2{n}^{2}-n}{n+c}$，
可得b₁=$\frac{1}{1+c}$，b₂=$\frac{6}{2+c}$，b₃=$\frac{15}{3+c}$，
由b_n是等差数列，可得2b₂=b₁+b₃，即2c²+c=0，
解得c=-$\frac{1}{2}$（c=0舍去），
当c=-$\frac{1}{2}$时，b_n=2n为等差数列，满足要求．

点评 本题主要考查了等差数列的性质、通项公式、前n项和公式的综合运用，考查化简整理的运算能力，属于中档题．