Question

10．已知函数f（x）=1n²x-kx在定义域内单递减，求实数k的取值范围．

Answer 1

分析 若函数f（x）=1n²x-kx在定义域内单递减，只需f′（x）＜0在（0，+∞）恒成立，解关于导函数的不等式即可．

解答 解：函数f（x）的定义域是（0，+∞），
f′（x）=$\frac{2lnx}{x}$-k，
f″（x）=$\frac{2（1-lnx）}{{x}^{2}}$，
令f″（x）＞0，解得：x＜e，令f″（x）＜0，解得：x＞e，
∴f′（x）在（0，e）递增，在（e，+∞）递减，
∴f′（x）_最大值=f′（e）=$\frac{2}{e}$-k，
若函数f（x）=1n²x-kx在定义域内单递减，
则f′（e）=$\frac{2}{e}$-k＜0，解得：k＞$\frac{2}{e}$．

点评 本题考查了函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，是一道中档题．