Question

20．已知函数f（x）=x-alnx+$\frac{1-a}{x}$（a∈R），g（x）=x-1．
（Ⅰ）若函数f（x）在x=2处取得极值，求实数a的值；
（Ⅱ）是否存在a∈（3，+∞），对任意x₁$∈[\frac{1}{e}，1]$，总存在x₂$∈[\frac{1}{e}，1]$，使得g（x₁）=f（x₂）成立．若存在，求出a的范围；若不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出原函数的导函数，得到导函数的零点，利用函数f（x）在x=2处取得极值，得到a-1=2，从而求得实数a的值；
（Ⅱ）把对任意x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，总存在x₂∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立转化为函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的值域为g（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的值域的子集，利用f（x）、g（x）的单调性求其值域，然后利用两个函数值域端点值间的关系列不等式组求得答案．

解答 解：（Ⅰ）由f（x）=x-alnx+$\frac{1-a}{x}$，（x＞0），
得f′（x）=1-$\frac{a}{x}$-$\frac{1-a}{{x}^{2}}$=$\frac{{x}^{2}-ax+a-1}{{x}^{2}}$，
由x²-ax+a-1=0，得x₁=1，x₂=a-1，
∵函数f（x）在x=2处取得极值，∴a-1=2，即a=3；
（Ⅱ）假设存在a∈（3，+∞），对任意x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，总存在x₂∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立．
则函数f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的值域为g（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上的值域的子集，
由（Ⅰ）知，f（x）在[$\frac{1}{e}$，1]上为增函数，
∴f（x）∈[$\frac{1}{e}$+a+e-ae，2-a]，
又g（x）=x-1在[$\frac{1}{e}$，1]上为增函数，
∴g（x）∈[$\frac{1}{e}$-1，0]，
则 $\left\{\begin{array}{l}{\frac{1}{e}+a+e-ae≤2-a}\\{\frac{1}{e}-1≤\frac{1}{e}+a+e-ae}\\{2-a≤0}\end{array}\right.$，解得：2≤a≤$\frac{e+1}{e-1}$．
而$\frac{e+1}{e-1}$＜3，
∴不存在a∈（3，+∞），对任意x₁∈[$\frac{1}{e}$，1]，总存在x₂∈[$\frac{1}{e}$，1]，使得g（x₁）=f（x₂）成立．

点评 本题考查了利用导数研究函数的极值，考查数学转化思想方法，正确理解题意是解答（Ⅱ）的关键，是压轴题．