Question

6．由曲线y=$\sqrt{x}$+1和直线x-2y+2=0所围成图形的面积为a，则二项式（x²-$\frac{2}{x}$）^3a的展开式中含x^-1的项的系数为（　　）

• A． 32
• B． -32
• C． 48
• D． -48

Answer 1

分析 先利用定积分的意义求得a的值，再求出二项式展开式的通项公式，再令x的幂指数等于0-1，求得r的值，即可求得展开式中的含x^-1的项的系数．

解答 解：由$\left\{\begin{array}{l}{y=\sqrt{x}+1}\\{y=\frac{1}{2}x+1}\end{array}\right.$ 求得x=0或 x=4，曲线y=$\sqrt{x}$+1和直线x-2y+2=0所围成图形的面积，
为a=${∫}_{0}^{4}$（$\sqrt{x}$+1-$\frac{1}{2}$x-1）dx=（$\frac{2}{3}$•${x}^{\frac{3}{2}}$-$\frac{1}{4}$•x²）${|}_{0}^{4}$=$\frac{2}{3}$•$\sqrt{64}$-4=$\frac{4}{3}$，
二项式（x²-$\frac{2}{x}$）^3a =（x²-$\frac{2}{x}$）⁴的展开式的通项公式为T_r+1=${C}_{4}^{r}$•（-2）^r•x^8-3r，令8-3r=-1，求得r=3，
故展开式中含x^-1的项的系数为-${C}_{4}^{3}$•8=-32，
故选：B．

点评 本题主要考查定积分的意义，二项式定理的应用，二项式展开式的通项公式，属于基础题．