Question

16．在数列{a_n}中，已知a₁=2，对于任意的p、q∈Z⁺，都有a_p+a_q=a_p+q成立．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）若数列{b_n}满足a_n²b_n=1，设S_n为数列{b_n}的前n项之和．求证：S_n＜$\frac{1}{2}$．

Answer 1

分析 （1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，可得a_n+1-a_n=2，由此能求出数列{a_n}的通项公式；
（2）求得b_n=$\frac{1}{4{n}^{2}}$＜$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），运用裂项相消求和和不等式的性质，即可得证．

解答 解：（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2，
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*），
∴{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列，
则a_n=2n；
（2）由a_n²b_n=1，可得b_n=$\frac{1}{4{n}^{2}}$，
由4n²＞4n²-1，可得b_n＜$\frac{1}{4{n}^{2}-1}$=$\frac{1}{2}$（$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$），
即有S_n=b₁+b₂+…+b_n＜$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{3}$+$\frac{1}{3}$-$\frac{1}{5}$+…+$\frac{1}{2n-1}$-$\frac{1}{2n+1}$）
=$\frac{1}{2}$（1-$\frac{1}{2n+1}$）＜$\frac{1}{2}$，
故原不等式成立．

点评 本题考查数列通项公式的求法，考查了运用特值法确定数列为等差数列，考查不等式的证明，注意运用放缩法和裂项相消求和，以及不等式的性质，属于中档题．