Question

4．已知数列{a_n}满足：a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1，n≥2，n∈N．
（1）求a₂，a₃；
（2）证明{$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$}为等差数列，并求该数列的前n项和．

Answer 1

分析 （1）利用递推公式求得a₂=2+8+1=11，a₃=39；
（2）化简a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1为a_n+1=2（a_n-1+1）+2ⁿ⁺¹，从而可得$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}+1}{{2}^{n-1}}$=2，从而证明，再求等差数列前n项和即可．

解答 解：（1）∵a₁=1，a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1，
∴a₂=2a₁+2²⁺¹+1=2+8+1=11，
a₃=2a₂+2³⁺¹+1=39；
（2）证明：∵a_n=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1，
∴a_n+1=2a_n-1+2ⁿ⁺¹+1+1，
即a_n+1=2（a_n-1+1）+2ⁿ⁺¹，
即$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$=$\frac{{a}_{n-1}+1}{{2}^{n-1}}$+2，
故$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$-$\frac{{a}_{n-1}+1}{{2}^{n-1}}$=2，
又∵$\frac{{a}_{1}+1}{2}$=1，
∴{$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$}是以1为首项，2为公差的等差数列，
故$\frac{{a}_{n}+1}{{2}^{n}}$=2n-1，
其前n项和S_n=$\frac{1+2n-1}{2}$×n=n²．

点评 本题考查了数列递推公式的应用及构造数列以证明数列的性质，同时考查了数列前n项和公式的应用．