Question

9．设F₁，F₂为双曲线C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1的左，右焦点，P，Q为双曲线C右支上的两点，若$\overrightarrow{P{F}_{2}}$=2$\overrightarrow{{F}_{2}Q}$，且$\overrightarrow{{F}_{1}Q}$•$\overrightarrow{PQ}$=0，则该双曲线的离心率是$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 设∠QF₂F₁=α，则|QF₁|=2csinα，|QF₂|=2ccosα，|PF₂|=4ccosα，由双曲线的定义可得2a=2csinα-2ccosα，
在△PF₁F₂中运用余弦定理求出sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，由离心率公式计算即可得到．

解答 解：设∠QF₂F₁=α，则|QF₁|=2csinα，|QF₂|=2ccosα，|PF₂|=4ccosα，
由双曲线的定义可得2a=2csinα-2ccosα，
在△PF₁F₂中，（-2ccosα+2csinα+4ccosα）²=4c²+（4ccosα）²+2×2c×4ccosα×cosα
即有sinα=2cosα，即有sinα=$\frac{2\sqrt{5}}{5}$，cosα=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
即有e=$\frac{c}{a}$=$\frac{1}{sinα-cosα}$=$\sqrt{5}$．
故答案为：$\sqrt{5}$．

点评 本题考查双曲线的定义、方程和性质，主要考查离心率的求法，运用双曲线的定义和余弦定理是解题的关键，属于中档题．