Question

19．设公差为d的等差数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=6，d∈Z，S_n的最大值为S₄．
（1）求数列{a_n}的通项公式；
（2）设b_n=$\frac{7}{{S}_{7n+7}}$，求证：b₁+b₂+b₃+…+b_n＞-$\frac{1}{7}$．

Answer 1

分析 （1）S_n=$\frac{d}{2}$n²-$（\frac{d}{2}-6）$n，由于S_n的最大值为S₄．可得d＜0，d∈Z，$\frac{\frac{d}{2}-6}{d}$∈[3.5，4.5]，解出即可得出．
（2）S_n=-n²+7n．可得：b_n=-$\frac{1}{7}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，再利用“裂项求和”即可得出．

解答 （1）解：S_n=6n+$\frac{n（n-1）}{2}$d=$\frac{d}{2}$n²-$（\frac{d}{2}-6）$n，
∵S_n的最大值为S₄．
∴d＜0，d∈Z，$\frac{\frac{d}{2}-6}{d}$∈[3.5，4.5]，
解得d=-2．
∴a_n=6-2（n-1）=8-2n．
（2）证明：S_n=-n²+7n．
∴S_7n+7=-（7n+7）²+7（7n+7）=-49n（n+1），
b_n=$\frac{7}{{S}_{7n+7}}$=$-\frac{1}{7n（n+1）}$=-$\frac{1}{7}（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）$，
∴b₁+b₂+b₃+…+b_n=$-\frac{1}{7}$$[（1-\frac{1}{2}）+（\frac{1}{2}-\frac{1}{3}）$+…+$（\frac{1}{n}-\frac{1}{n+1}）]$=$-\frac{1}{7}$$（1-\frac{1}{n+1}）$＞-$\frac{1}{7}$．

点评 本题考查了等差数列的通项公式及其前n项和公式、二次函数的单调性、“裂项求和”，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．