Question

11．已知△ABC的三内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且b=4，c=1，A=2B．则边a的长为2$\sqrt{5}$．

Answer 1

分析 由题意和二倍角公式可得a=8cosB，再由余弦定理可得cosB的方程，解方程代入计算可得a值．

解答 解：∵△ABC中b=4，c=1，A=2B，
∴sinA=sin2B=2sinBcosB，
∴由正弦定理可得a=2bcosB=8cosB，
再由余弦定理可得a²=b²+c²-2bccosA，
∴64cos²B=17-2×4×1×cos2B=17-8（2cos²B-1），
解得cosB=$\frac{\sqrt{5}}{4}$，或cosB=-$\frac{\sqrt{5}}{4}$（舍去）
∴a=8cosB=2$\sqrt{5}$
故答案为：2$\sqrt{5}$．

点评 本题考查正余弦定理解三角形，涉及二倍角公式和方程的思想，属中档题．