Question

20．圆M的圆心M在y轴的正半轴上，点A（0，-3）在圆M上，点B是圆M上一点，已知圆心M到直线AB的距离为2$\sqrt{3}$，且$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=8，求圆M的方程．

Answer 1

分析 利用向量数量积的定义，求出|AB|，根据圆心M到直线AB的距离为2$\sqrt{3}$，求圆心与半径，即可求圆M的方程．

解答 解：∵$\overrightarrow{AM}$•$\overrightarrow{AB}$=8，
∴$\frac{1}{2}$|$\overrightarrow{AB}$|²=8，
∴|$\overrightarrow{AB}$|=4，
∵圆心M到直线AB的距离为2$\sqrt{3}$，
∴|AM|=$\sqrt{12+4}$=4，
∵A（0，-3），
∴M（0，1），r=4，
∴圆M的方程为x²+（y-1）²=16．

点评 本题考查直线与圆的位置关系，考查圆的方程，考查学生的计算能力，属于中档题．