Question

5．过双曲线$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的一个焦点F向其一条渐近线作垂线l，垂足为A，l与另一条渐近线交于B点，若$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，则双曲线的离心率为$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 根据题意，取右焦点F（c，0），渐近线y=$\frac{b}{a}$x，求出直线FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），由方程联立求出A、B的坐标，利用坐标表示$\overrightarrow{FB}$与$\overrightarrow{FA}$，由$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，求出双曲线的离心率e．

解答 解：如图所示，
取右焦点F（c，0），渐近线y=$\frac{b}{a}$x．
∵FA⊥OA，∴可得直线FA的方程为y=-$\frac{a}{b}$（x-c），
令$\left\{\begin{array}{l}{y=\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$，解得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}}{c}}\\{y=\frac{ab}{c}}\end{array}\right.$，∴A（$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）．
∵$\left\{\begin{array}{l}{y=-\frac{b}{a}x}\\{y=-\frac{a}{b}（x-c）}\end{array}\right.$，$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}{-b}^{2}}}\\{y=-\frac{abc}{{a}^{2}{-b}^{2}}}\end{array}\right.$∴B（$\frac{{a}^{2}c}{{a}^{2}{-b}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}{-b}^{2}}$），
$\overrightarrow{FB}$=（$\frac{{b}^{2}c}{{a}^{2}{-c}^{2}}$，-$\frac{abc}{{a}^{2}{-b}^{2}}$）
∴$\overrightarrow{FA}$=（-$\frac{{b}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$）．
又$\overrightarrow{FB}$=3$\overrightarrow{FA}$，
∴该双曲线的离心率为e=$\frac{c}{a}$=$\sqrt{3}$．
故：$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了双曲线的标准方程与几何性质的应用问题，也考查了平面向量的应用问题，是基础题目．