Question

17．如图，在四棱锥P-ABCD中，底面是边长为2$\sqrt{3}$菱形，∠BAD=120°，且PA⊥平面ABCD，PA=2$\sqrt{6}$，M，N分别为PB，PD的中点
（1）证明：MN∥平面ABCD；
（2）证明：BD⊥平面PAC；
（3）求三棱锥C-BDN的体积．

Answer 1

分析 （1）由M，N分别是PB，PD的中点，可得MN∥BD，即可证明MN∥平面ABCD．
（2）利用线面垂直的判定定理证明BD⊥平面PAC；
（3）三棱锥C-BDN的体积=三棱锥N-CBD的体积，即可求三棱锥C-BDN的体积．

解答 （1）证明：因为：M，N分别是PB，PD的中点，
所以：MN是△PBD的中位线，
所以：MN∥BD，
又因为：MN?面ABCD，BD?面ABCD，
所以：MN∥平面ABCD．
（2）证明：∵PA⊥平面ABCD，BD?平面ABCD，
∴PA⊥BD，
∵ABCD边长为2$\sqrt{3}$菱形，
∴BD⊥AC，
∵PA∩AC=A，
∴BD⊥平面PAC；
（3）解：三棱锥C-BDN的体积=三棱锥N-CBD的体积=$\frac{1}{3}×\frac{1}{2}×2\sqrt{3}×2\sqrt{3}×sin120°×\sqrt{6}$=$\frac{3\sqrt{2}}{2}$．

点评 本题主要考查了直线与平面平行、垂直的判定，棱柱、棱锥、棱台的体积的求法，考查了空间想象能力和推理论证能力，属于中档题．