Question

12．已知直线l：$y=x+\sqrt{6}$，圆O：x²+y²=5，椭圆E：$\frac{y^2}{a^2}+\frac{x^2}{b^2}=1$（a＞b＞0）的离心率$e=\frac{{\sqrt{3}}}{3}$，直线l被圆O截得的弦长与椭圆的短轴长相等．
（1）求椭圆E的方程；
（2）过圆O上任意一点$P（{x_0}，{y_0}）（{x_0}≠±\sqrt{2}，{y_0}≠±\sqrt{3}）$作两条直线与椭圆E分别只有唯一一个公共点，求证：这两直线斜率之积为定值．

Answer 1

分析 （1）求得圆心到直线的距离，运用弦长公式，由离心率公式和a，b，c的关系，解方程可得a，b，进而得到椭圆方程；
（2）设过P的椭圆E的切线l₀的方程为y-y₀=k（x-x₀），代入椭圆方程，运用直线和椭圆相切的条件：判别式为0，化简整理，再由韦达定理，即可得到斜率之积为定值．

解答 解：（1）设椭圆半焦距为c，
圆心O到l的距离d=$\frac{\sqrt{6}}{\sqrt{1+1}}$=$\sqrt{3}$，
则l被圆O截得的弦长为2$\sqrt{5-3}$=2$\sqrt{2}$，
所以b=$\sqrt{2}$．
由题意得$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{3}$，且a²-b²=c²，
∴a²=3，b²=2，
∴椭圆E的方程为$\frac{{y}^{2}}{3}$+$\frac{{x}^{2}}{2}$=1；
（2）过P（x₀，y₀）的直线与椭圆E分别只有唯一的公共点，
设过P的椭圆E的切线l₀的方程为y-y₀=k（x-x₀），
整理得y=kx+y₀-kx₀，
联立直线l₀与椭圆E的方程得$\left\{\begin{array}{l}{y=kx+{y}_{0}-k{x}_{0}}\\{2{y}^{2}+3{x}^{2}=6}\end{array}\right.$，
消去y得2[kx+（y₀-kx₀）]²+3x²-6=0，
整理得（3+2k²）x²+4k（y₀-kx₀）x+2（kx₀-y₀）²-6=0，
∵l₀与与椭圆E分别只有唯一的公共点（即与椭圆E相切），
∴△=[4k（y₀-kx₀）]²-4（3+2k²）[2（kx₀-y₀）²-6]=0，
整理得（2-x${\;}_{0}^{2}$）k²+2x₀y₀k-（y${\;}_{0}^{2}$-3）=0，
设满足题意的与椭圆E分别只有唯一的公共点的直线的斜率分别为k₁，k₂，
则k₁k₂=-$\frac{{{y}_{0}}^{2}-3}{2-{{x}_{0}}^{2}}$．
∵点P在圆O上，∴x₀²+y₀²=5，
∴k₁k₂=-$\frac{5-{{x}_{0}}^{2}-3}{2-{{x}_{0}}^{2}}$=-1．
∴两条切线斜率之积为-1．

点评 本题考查椭圆的方程的求法，运用离心率公式和圆的弦长公式，考查直线和椭圆方程联立，运用韦达定理和直线和椭圆相切的条件：判别式为0，属于中档题．