Question

4．一个棱长为12的正四面体纸盒内放一个正方体，若正方体可以在纸盒内任意转动，则正方体的体积最大值是（　　）

• A． 16$\sqrt{2}$
• B． 6$\sqrt{2}$
• C． 12$\sqrt{2}$
• D． 32$\sqrt{2}$

Answer 1

分析 在一个棱长为12的正四面体纸盒内放一个正方体，并且能使正方体在纸盒内任意转动，说明正方体在正四面体的内切球内，求出内切球的直径，就是正方体的对角线的长，然后求出正方体的棱长．

解答 解：设正四面体的内切球的半径为：r，由正四面体的体积得：
4×$\frac{1}{3}$×r×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×12²=$\frac{1}{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{4}$×12²×$\sqrt{1{2}^{2}-（\frac{2}{3}×\frac{\sqrt{3}}{2}×12）^{2}}$，
所以r=$\sqrt{6}$，
设正方体的最大棱长为a，
∴3a²=（2$\sqrt{6}$）²，
∴a=2$\sqrt{2}$，
∴正方体的体积最大值是16$\sqrt{2}$．
故选：A．

点评 本题是中档题，考查正四面体的内接球的知识，球的内接正方体的棱长的求法，考查空间想象能力，转化思想，计算能力．