Question

16．有一智能机器人在平面上行进中始终保持与点F（1，0）的距离和到直线x=-1的距离相等，若机器人接触不到过点P（-1，0）且斜率为k的直线，求k的取值范围．

Answer 1

分析 由抛物线的定义，求出机器人的轨迹方程，过点P（-1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），代入y²=4x，利用判别式，即可求出k的取值范围．

解答 解：由题意可知机器人的轨迹为一抛物线，其轨迹方程为y²=4x，
过点P（-1，0）且斜率为k的直线方程为y=k（x+1），…（4分）
由题意知直线与抛物线无交点，即当直线位于图中阴影部分时，机器人是接触不到的；
联立消去y，得k²x²+（2k²-4）x+k²=0，则△=（2k²-4）²-4k⁴＜0，…（8分）
所以k²＞1，得k＞1或k＜-1．…（10分）

点评 本题考查抛物线的定义，考查直线与抛物线的位置关系，属于中档题．