Question

11．已知椭圆C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$+$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞b＞0）的右焦点为F，短轴的一个端点为M，直线l：3x-4y=0交椭圆C于A，B两点，若|AF|+|BF|=4，点M到直线l的距离等于$\frac{4}{5}$，则椭圆C的离心率为（　　）

• A． $\frac{\sqrt{3}}{2}$
• B． $\frac{\sqrt{3}}{4}$
• C． $\frac{3}{2}$
• D． $\frac{\sqrt{6}}{4}$

Answer 1

分析 设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′，则四边形AFBF′是平行四边形，可得4=|AF|+|BF|=|AF′|+|BF|=2a．取M（0，b），由点M到直线l的距离为$\frac{4}{5}$，可得$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，解得b=1．再利用离心率计算公式e=$\frac{c}{a}$，即可得出．

解答 解：如图所示，设F′为椭圆的左焦点，连接AF′，BF′
则四边形AFBF′是平行四边形，
∴4=|AF|+|BF|=|AF′|+|AF|=2a，∴a=2．
取M（0，b），
∵点M到直线l的距离为$\frac{4}{5}$，∴$\frac{|4b|}{\sqrt{{3}^{2}+{4}^{2}}}$=$\frac{4}{5}$，解得b=1．
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{{a}^{2}-{b}^{2}}}{a}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}$．
故选：A．

点评 本题考查了椭圆的定义、标准方程及其性质、点到直线的距离公式，考查了计算能力，属于中档题．