Question

20．在△ABC中，A，B，C的对边分别是a，b，c，C=60°，3sinA=sinB．
（1）若△ABC的面积为$3\sqrt{3}$，求b的值；
（2）求cosB的值．

Answer 1

分析 （1）由正弦定理化简已知可得3a=b，利用三角形面积公式可得$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{3}{2}{a^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3}$，进而解得a，b的值．
（2）由余弦定理可得$c=\sqrt{7}a$，进而利用余弦定理即可解得cosB的值．

解答 （本题满分为12分）
解：（1）在△ABC中，∵3sinA=sinB，
∴由正弦定理得，3a=b，
∴$S=\frac{1}{2}absinC=\frac{3}{2}{a^2}×\frac{{\sqrt{3}}}{2}=3\sqrt{3}$，
∴a=2，b=6．  …（6分）
（2）由余弦定理得${c^2}={a^2}+{（{3a}）^2}-2a×3a×\frac{1}{2}=7{a^2}$，
∴$c=\sqrt{7}a$，
∴$cosB=\frac{{{a^2}+{c^2}-{b^2}}}{2ac}=\frac{{{a^2}+7{a^2}-9{a^2}}}{{2\sqrt{7}{a^2}}}=-\frac{{\sqrt{7}}}{14}$． …（12分）

点评 本题主要考查了正弦定理，余弦定理，三角形面积公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．