Question

8．已知圆C与两平行直线x-y=0及x-y-4=0都相切，且圆心C在直线x+y=0上，
（1）求圆C的方程；
（2）若直线l：y=kx-2与圆C恒有两个不同的交点A和B，且$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$（其中O为原点），求k的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用平行线之间的距离求出圆的直径，设出圆心坐标，利用圆心到直线的距离，求出圆心坐标，可得圆的方程．
（2）联立直线和圆方程，利用韦达定理，结合$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$（其中O为原点），即可求k的取值范围．

解答 解：（1）由题意知⊙C的直径为两平行线 x-y=0及x-y-4=0之间的距离d=2R=$\frac{|0-（-4）|}{\sqrt{2}}$=2$\sqrt{2}$
∴解得R=$\sqrt{2}$，
由圆心C（a，-a）到 x-y=0的距离$\frac{|2a|}{\sqrt{2}}=\sqrt{2}$得a=±1，检验得a=1
∴⊙C的方程为（x-1）²+（y+1）²=2；
（2）直线l：y=kx-2与圆C，联立可得（1+k²）x²-（2+2k）x=0，
∴x₁+x₂=$\frac{2+2k}{1+{k}^{2}}$，x₁x₂=0
由$\overrightarrow{OA}•\overrightarrow{OB}＞2$，得x₁x₂+y₁y₂＞2，
∴x₁x₂+y₁y₂=（k²+1）x₁x₂-2k（x₁+x₂）+4＞2．
于是k²+2k-1＜0，即-1-$\sqrt{2}$＜k＜-1+$\sqrt{2}$．

点评 本题考查了圆方程的求法，考查了直线与圆的关系，正确运用韦达定理是关键．