Question

3．由四个全等的等边三角形的封面几何体称为正四面体，如图，正四面体ABCD中，E、F分别是棱BC、AD的中点，CF与DE是一对异面直线，在图形中适当的选取一点作出异面直线CF、DE的平行线，找出异面直线CF与DE成的角．（注：至少用四种方法）

Answer 1

分析 【方法一】如图1所示，找出∠CFG是异面直线CF与DE所成的角（或其补角），用余弦定理求即可；
【方法二】如图2所示，找出∠FCM是异面直线CF与DE所成的角（或其补角）；用余弦定理求出即可；
【方法三】如图3所示，找出∠NED是异面直线CF与DE所成的角（或其补角），利用余弦定理求出即可；
【方法四】如图4所示，利用向量法，以{$\overrightarrow{CA}$，$\overrightarrow{CB}$，$\overrightarrow{CD}$}为基底，表示出$\overrightarrow{DE}$与$\overrightarrow{CF}$，求出两向量所成的角，即可求出异面直线AE与CF所成的角．

解答 解：【方法一】如图1所示，
过点F作FG∥DE，交AE与点G，连接GC，则∠CFG是异面直线CF与DE所成的角（或其补角）；
设AB=1，则DE=CF=AE=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，GF=$\frac{1}{2}$DE=$\frac{\sqrt{3}}{4}$；
GC=$\sqrt{{GE}^{2}{+EC}^{2}}$=$\sqrt{{（\frac{\sqrt{3}}{4}）}^{2}{+（\frac{1}{2}）}^{2}}$=$\sqrt{\frac{7}{16}}$，
cos∠CFG=$\frac{{GF}^{2}{+CF}^{2}{-GC}^{2}}{2GF•CF}$=$\frac{\frac{3}{16}+\frac{3}{4}-\frac{7}{16}}{2×\frac{\sqrt{3}}{4}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=$\frac{2}{3}$，
∴∠CFG=arccos$\frac{2}{3}$．
【方法二】如图2所示，

过点C作CM∥ED，交BD的延长线与点M，连接FM，则∠FCM是异面直线CF与DE所成的角（或其补角）；
设AB=1，则DE=CF=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，∴CM=2DE=$\sqrt{3}$，
FM²=DF²+DM²-2DF•DM•cos120°=${（\frac{1}{2}）}^{2}$+1²-2×$\frac{1}{2}$×1×（-$\frac{1}{2}$）=$\frac{7}{4}$，
∴cos∠FCM=$\frac{{FC}^{2}{+CM}^{2}{-FM}^{2}}{2FC•CM}$=$\frac{\frac{3}{4}+3-\frac{7}{4}}{2×\frac{\sqrt{3}}{2}×\sqrt{3}}$=$\frac{2}{3}$，
∴∠FCM=arccos$\frac{2}{3}$；
【方法三】如图3所示，连接BF，取BF的中点N，连接EN，DN，

则EN∥FC，且EN=$\frac{1}{2}$FC，∴∠NED是异面直线CF与DE所成的角（或其补角），利用余弦定理求出即可；
【方法四】如图4所示，

向量法，$\overrightarrow{CF}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CD}$），$\overrightarrow{DE}$=$\overrightarrow{CE}$-$\overrightarrow{CD}$=$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$；
设正四面体的棱长为1，则|$\overrightarrow{CF}$|=|$\overrightarrow{DE}$|=$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴$\overrightarrow{CF}$•$\overrightarrow{DE}$=$\frac{1}{2}$（$\overrightarrow{CA}$+$\overrightarrow{CD}$）•（$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CB}$-$\overrightarrow{CD}$）
=$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$-$\frac{1}{2}$$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CD}$+$\frac{1}{4}$$\overrightarrow{CD}$•$\overrightarrow{CB}$-$\frac{1}{2}$${\overrightarrow{CD}}^{2}$
=$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{8}$-$\frac{1}{2}$=-$\frac{1}{2}$；
∴cos＜$\overrightarrow{CF}$，$\overrightarrow{DE}$＞=$\frac{\overrightarrow{CF}•\overrightarrow{DE}}{|\overrightarrow{CF}|×|\overrightarrow{DE}|}$=$\frac{-\frac{1}{2}}{\frac{\sqrt{3}}{2}×\frac{\sqrt{3}}{2}}$=-$\frac{2}{3}$，
∴异面直线AE与CF所成角的余弦值为$\frac{2}{3}$，
AE与CF所成角为arccos$\frac{2}{3}$．

点评 本题考查了异面直线所成的角的计算问题，解题时找角是关键，也可以用向量的方法求解，是综合性题目．