Question

18．已知正三棱锥P-ABC，若M是侧棱PA的三分点，且PB⊥CM，AB=$\sqrt{2}$，则三棱锥P-ABC外接球的体积为（　　）

• A． 2$\sqrt{3}π$
• B． $\frac{π}{2}$
• C． $\frac{\sqrt{3}}{2}π$
• D． $\frac{\sqrt{3}}{4}π$

Answer 1

分析 确定PB⊥平面PAC，将正三棱锥P-ABC可补成正方体，其对角线就是三棱锥P-ABC外接球的直径，可得三棱锥P-ABC外接球的半径，即可求出三棱锥P-ABC外接球的体积．

解答 解：∵三棱锥P-ABC为正三棱锥，
∴PB⊥AC，
∵PB⊥CM，AC∩CM=C，
∴PB⊥平面PAC，
将正三棱锥P-ABC可补成正方体，其对角线就是三棱锥P-ABC外接球的直径，
∵AB=$\sqrt{2}$，
∴三棱锥P-ABC外接球的直径是$\sqrt{3}$，
∴三棱锥P-ABC外接球的半径是$\frac{\sqrt{3}}{2}$，
∴三棱锥P-ABC外接球的体积为$\frac{4}{3}π•（\frac{\sqrt{3}}{2}）^{3}$=$\frac{\sqrt{3}}{2}π$．
故选：C．

点评 本题考查三棱锥P-ABC外接球的体积，考查学生的计算能力，正三棱锥P-ABC可补成正方体，得出其对角线就是三棱锥P-ABC外接球的直径是关键．