Question

13．已知正数a，b满足$\frac{1}{2a+4b}$+$\frac{1}{2a+b}$=1，则a+b的最小值是$\frac{1}{6}$（3+2$\sqrt{2}$）．

Answer 1

分析 设2a+4b=m，2a+b=n，问题转化为正数mn满足$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，求$\frac{1}{6}$m+$\frac{1}{3}$n的最小值，由基本不等式可得．

解答 解：设2a+4b=m，2a+b=n，
解得a=-$\frac{1}{6}m+\frac{2}{3}n$，b=$\frac{1}{3}$（m-n），
则正数m，n满足$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$=1，
∴a+b=-$\frac{1}{6}m+\frac{2}{3}n$+$\frac{1}{3}$（m-n）
=$\frac{1}{6}$m+$\frac{1}{3}$n=$\frac{1}{6}$（m+2n）（$\frac{1}{m}$+$\frac{1}{n}$）
=$\frac{1}{6}$（3+$\frac{2n}{m}$+$\frac{m}{n}$）≥$\frac{1}{6}$（3+2$\sqrt{2}$）
当且仅当$\frac{2n}{m}$=$\frac{m}{n}$时取等号．
故答案为：$\frac{1}{6}$（3+2$\sqrt{2}$）

点评 本题考查基本不等式求最值，换元并整体代换是解决问题的关键，属中档题．