Question

3．在△ABC中，A（-1，0），B（1，0），若△ABC的重心G和垂心H满足GH平行于x轴（G．H不重合），
（I）求动点C的轨迹Γ的方程；
（II）已知O为坐标原点，若直线AC与以O为圆心，以|OH|为半径的圆相切，求此时直线AC的方程．

Answer 1

分析 （Ⅰ）由题意可设C（x，y），则G（$\frac{x}{3}，\frac{y}{3}$），H（x，$\frac{y}{3}$），求出$\overrightarrow{BH}$，$\overrightarrow{AC}$的坐标，再由$\overrightarrow{BH}$•$\overrightarrow{AC}$=0整理得答案；
（Ⅱ）设方程AC为y=k（x+1），C（x₀，y₀）．联立直线方程和椭圆方程，求出H的坐标，由点到直线的距离公式求得原点O到直线AC的距离，结合题意得到关于k的等式，求出k值后可得直线AC的方程．

解答 解：（Ⅰ）由题意可设C（x，y），则G（$\frac{x}{3}，\frac{y}{3}$），H（x，$\frac{y}{3}$）．
$\overrightarrow{BH}$=（x-1，$\frac{y}{3}$），$\overrightarrow{AC}$=（x+1，y），
∵H为垂心，∴$\overrightarrow{BH}•\overrightarrow{AC}$=x²-1+$\frac{{y}^{2}}{3}$=0，整理可得x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1，
即动点C的轨迹Г的方程为x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1（x•y≠0）；                                              
（Ⅱ）显然直线AC的斜率存在，设方程AC为y=k（x+1），C（x₀，y₀）．
将y=k（x+1）代入x²+$\frac{{y}^{2}}{3}$=1得（3+k²）x²+2k²x+k²-3=0，
解得x₀=$\frac{3-{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，y₀=$\frac{6k}{3+{k}^{2}}$，则H（$\frac{3-{k}^{2}}{3+{k}^{2}}$，$\frac{2k}{3+{k}^{2}}$）．
原点O到直线AC的距离d=$\frac{|k|}{\sqrt{1+{k}^{2}}}$，
依题意可得$\frac{{k}^{2}}{1+{k}^{2}}=\frac{9-2{k}^{2}+{k}^{4}}{9+6{k}^{2}+{k}^{4}}$，
即7k⁴+2k²-9=0，解得k²=1，即k=1或-1，
故所求直线AC的方程为y=x+1或y=-x-1．

点评 本题考查轨迹方程的求法，训练了平面向量在求解轨迹方程中的应用，属中档题．