Question

18．利用单位圆写出符合下列条件的角x的取值范围．
（1）cosx$＞\frac{1}{2}$；
（2）|cosx|$≤\frac{1}{2}$；
（3）sinx$≥\frac{1}{2}$且tanx≤-1．

Answer 1

分析 在单位圆中画出三角函数线．
（1）由[0，2π）内，cos$\frac{π}{3}$=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，结合余弦线得cosx$＞\frac{1}{2}$的解集；
（2）由[0，2π）内，cos$\frac{π}{3}$=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，cos$\frac{2π}{3}$=cos$\frac{4π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，结合余弦线得$-\frac{1}{2}≤$cosα$≤\frac{1}{2}$的解集．
（3）由[0，2π）内，sin$\frac{π}{6}$=sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$，tan$\frac{3π}{4}$=tan$\frac{7π}{4}$=-1，结合正切线、正弦线得sinx$≥\frac{1}{2}$且tanx≤-1．的解集．

解答 解：在单位圆内作三角函数线如图：
（1）在[0，2π）内，cos$\frac{π}{3}$=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，
满足cosx$＞\frac{1}{2}$的角的终边在阴影部分内（不含边界），
∵cos$\frac{π}{3}$=cos（-$\frac{π}{3}$），
∴cosx$＞\frac{1}{2}$的解集为{α|-$\frac{π}{3}$+2kπ＜α＜$\frac{π}{3}$+2kπ，k∈Z}；


（2）由|cosx|$≤\frac{1}{2}$；得$-\frac{1}{2}$≤cosx$≤\frac{1}{2}$；
∵在[0，2π）内，cos$\frac{π}{3}$=cos$\frac{5π}{3}$=$\frac{1}{2}$，cos$\frac{2π}{3}$=cos$\frac{4π}{3}$=-$\frac{1}{2}$，
∴满足$-\frac{1}{2}$≤cosx$≤\frac{1}{2}$的终边在阴影部分内，
∴$-\frac{1}{2}$≤cosx$≤\frac{1}{2}$的解集为{α|$\frac{π}{3}$+2kπ≤α≤$\frac{2π}{3}$，或$\frac{4π}{3}$+2kπ≤α≤$\frac{5π}{3}$+2kπ，k∈Z}．

（3）∵在[0，2π）内，[0，2π）内，sin$\frac{π}{6}$=sin$\frac{5π}{6}$=$\frac{1}{2}$，tan$\frac{3π}{4}$=tan$\frac{7π}{4}$=-1，
满足sinx$≥\frac{1}{2}$的集合为α|$\frac{π}{6}$+2kπ≤α≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z}．
满足tanx≤-1的集合为α|-$\frac{π}{2}$+kπ＜α≤$-\frac{π}{4}$+kπ，k∈Z}．
则同时满足sinx$≥\frac{1}{2}$且tanx≤-1的解集为{α|-$\frac{π}{2}$+kπ＜α≤$\frac{5π}{6}$+2kπ，k∈Z}．

点评 本题考查了三角函数线，考查了三角不等式的解法，考查了数形结合的解题思想方法，属于基本知识的考查．