Question

10．设a＞1，x，y满足约束条件$\left\{\begin{array}{l}{y≥x}\\{y≤ax}\\{x+2y≤2}\end{array}\right.$，若目标函数z=x+ay最大值不小于$\frac{3}{2}$，则实数a的取值范围为（　　）

• A． a≥0
• B． a≥$\frac{3}{2}$
• C． a≥$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$
• D． a≥$\frac{5}{4}$

Answer 1

分析 画出满足条件的平面区域，求出角点的坐标，由z=x+ay得：y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，通过讨论a的范围，得到关于a的不等式，求出a的范围即可．

解答 解：画出满足条件的平面区域，如图示：
，
由$\left\{\begin{array}{l}{y=ax}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，解得：A（$\frac{2}{1+2a}$，$\frac{2a}{1+2a}$），
由$\left\{\begin{array}{l}{y=x}\\{x+2y=2}\end{array}\right.$，解得：B（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$），
由z=x+ay得：y=-$\frac{1}{a}$x+$\frac{z}{a}$，
a＞2时，-$\frac{1}{2}$＜-$\frac{1}{a}$＜0，
直线过A（$\frac{2}{1+2a}$，$\frac{2a}{1+2a}$）时，z最大，（图中绿线），
此时，z=$\frac{2+{2a}^{2}}{1+2a}$≥$\frac{3}{2}$，解得：a≥$\frac{3+\sqrt{5}}{4}$或a≤$\frac{3-\sqrt{5}}{4}$，
1＜a＜2时，-1＜-$\frac{1}{a}$＜-$\frac{1}{2}$，
直线过B（$\frac{2}{3}$，$\frac{2}{3}$）时，z最大（图中红线），
此时，z=$\frac{2+2a}{3}$≥$\frac{3}{2}$，解得：a≥$\frac{5}{4}$，
a=2时，直线y=-$\frac{1}{2}$x+$\frac{z}{2}$和直线y=-$\frac{1}{2}$x+1重合时，z最大，
此时z=2＞$\frac{3}{2}$，符合题意，
综上，a≥$\frac{5}{4}$，
故选：D．

点评 本题考查了简单的线性规划问题，考查数形结合思想，讨论a的范围确定直线过A还是B是解题的关键，本题是一道中档题．