Question

1．在△ABC中，已知内角A=$\frac{π}{3}$．边BC=2$\sqrt{3}$．设内角B=x，面积为y．则y的最大值为3$\sqrt{3}$．

Answer 1

分析 由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{c}{sinC}$，可得c=4sin（x+$\frac{π}{3}$）．可得y=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}csinx$=$2\sqrt{3}$$sin（2x-\frac{π}{6}）$+$\sqrt{3}$，利用x∈$（0，\frac{2π}{3}）$及其三角函数的单调性最值即可得出．

解答 解：由正弦定理可得：$\frac{2\sqrt{3}}{sin\frac{π}{3}}$=$\frac{c}{sinC}$，
∴c=$\frac{2\sqrt{3}sinC}{sin\frac{π}{3}}$=4sin（x+$\frac{π}{3}$）．
∴y=$\frac{1}{2}×2\sqrt{3}csinx$
=$\sqrt{3}×$4sin（x+$\frac{π}{3}$）sinx
=$4\sqrt{3}$sinx$（\frac{1}{2}sinx+\frac{\sqrt{3}}{2}cosx）$
=$2\sqrt{3}$sin²x+6sinxcosx
=$\sqrt{3}$（1-cos2x）+3sin2x
=$2\sqrt{3}$$（\frac{\sqrt{3}}{2}sin2x-\frac{1}{2}cos2x）$+$\sqrt{3}$
=$2\sqrt{3}$$sin（2x-\frac{π}{6}）$+$\sqrt{3}$，
∵x∈$（0，\frac{2π}{3}）$．
∴$（2x-\frac{π}{6}）$∈$（-\frac{π}{6}，\frac{7π}{6}）$，
∴$sin（2x-\frac{π}{6}）$≤1，
∴y≤3$\sqrt{3}$，当且仅当$2x-\frac{π}{6}$=$\frac{π}{2}$，即x=$\frac{π}{3}$时取等号．
∴y的最大值为3$\sqrt{3}$．
故答案为：3$\sqrt{3}$．

点评 本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、诱导公式、三角函数的单调性及其最值、三角形面积计算公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．