Question

12．设函数f（x）=1nx+$\frac{a}{2}$x²-（a+1）x（a∈R）．
（1）当a=$\frac{1}{2}$时，求函数（x）的单调区间；
（2）当x＞1时，若f（x）$＜\frac{a}{2}{x}^{2}$-x-a（a＞0）恒成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）将a=$\frac{1}{2}$代入f（x）求出函数的表达式，求出函数的导数，解关于导函数的不等式，从而求出函数的单调区间；
（2）问题等价于lnx＜a（x-1）恒成立，（x＞1，a＞0），令h（x）=lnx，m（x）=a（x-1），结合图象求出a的范围即可．

解答 解：（1）a=$\frac{1}{2}$时，f（x）=lnx+$\frac{1}{4}$x²-$\frac{3}{2}$x，（x＞0），
f′（x）=$\frac{（x-2）（x-1）}{2x}$，
令f′（x）＞0，解得：x＞2或x＜1，
令f′（x）＜0，解得：1＜x＜2，
∴f（x）在（0，1），（2，+∞）递增，在（1，2）递减；
（2）当x＞1时，若f（x）$＜\frac{a}{2}{x}^{2}$-x-a（a＞0）恒成立，
等价于lnx＜a（x-1）恒成立，（x＞1，a＞0），
令h（x）=lnx，m（x）=a（x-1），
，
只需直线m（x）=a（x-1）的斜率a＞h′（1）=1即可，
∴a＞1．

点评 本题考查了求函数的单调性问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．