Question

17．已知函数f（x）=ax，g（x）=lnx，其中a∈R．
（1）若函数F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，求a的取值范围；
（2）设a_n=sin$\frac{1}{（n+1）^{2}}$，求证：$\sum_{k=1}^{n}{a}_{k}$＜ln2．

Answer 1

分析 （1）因为函数F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）在区间（0，1）上为增函数，可以对其进行转化，可以转化为F′（x）＞0在（0，1）上恒成立，利用常数分离法进行求解；
（2）这个证明题可以利用一个恒等式，sinx＜x，然后对$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{{（k+1）}^{2}}$从第三项开始进行放缩，然后进行证明．

解答 （1）解：∵函数F（x）=f[sin（1-x）]+g（x）=asin（1-x）+lnx，
∴F′（x）=acos（1-x）×（-1）+$\frac{1}{x}$，
只要F′（x）在区间（0，1）上大于等于0，
∴F′（x）=acos（1-x）×（-1）+$\frac{1}{x}$≥0，
∴a≤$\frac{1}{xcos（1-x）}$，求 $\frac{1}{xcos（1-x）}$的最小值即可，
求h（x）=xcos（1-x）的最大值即可，0＜1-x＜1，
∵h′（x）=cos（1-x）+xsin（1-x）＞0，
∴h（x）在（0，1）增函数，
h（x）＜h（1）=1，
∴$\frac{1}{xcos（1-x）}$的最小值为1，
∴a≤1；
（2）证明：∵0＜$\frac{1}{{（k+1）}^{2}}$＜1，
∵sinx＜x在x∈（0，1）上恒成立，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{{（k+1）}^{2}}$=sin$\frac{1}{{2}^{2}}$+sin$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+sin$\frac{1}{{（n+1）}^{2}}$≤$\frac{1}{{2}^{2}}$+$\frac{1}{{3}^{2}}$+…+$\frac{1}{{（n+1）}^{2}}$＜$\frac{1}{4}$+$\frac{1}{9}$+$\frac{1}{16}$+$\frac{1}{4×5}$+$\frac{1}{5×6}$+…+$\frac{1}{n（n+1）}$=$\frac{97}{144}$-$\frac{1}{n+1}$＜$\frac{97}{144}$＜ln2，
∴$\sum_{k=1}^{n}$sin$\frac{1}{{（k+1）}^{2}}$＜ln2．

点评 第一问利用导数可以很容易解决，第二问利用了常数分离法进行证明，第三问需要进行放缩证明，主要利用sinx＜x进行证明，此题难度比较大，计算量比较大．