Question

7．在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，以坐标原点为极点，x轴正半轴为极轴，并取相同的单位长度建立坐标系，曲线C₂的极坐标方程为2ρ=sinθ．
（1）写出曲线C₁的参数方程，并求出C₂的直角坐标方程；
（2）若P，Q分别是曲线C₁，C₂上的动点，求|$\overrightarrow{PQ}$|的取值范围．

Answer 1

分析 （1）由椭圆性质能示出曲线C₁的参数方程；由ρ²=x²+y²，y=ρsinθ，能求出C₂的直角坐标方程．
（2）设P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），曲线C₂的圆心为C₂，由C₂（0，$\frac{1}{4}$），由此利用两点间距离公式能求出|PQ|的取值范围．

解答 解：（1）∵在直角坐标系xOy中，曲线C₁的方程为$\frac{{x}^{2}}{2}$+y²=1，
∴曲线C₁的参数方程为$\left\{\begin{array}{l}{x=\sqrt{2}cosα}\\{y=sinα}\end{array}\right.$，α为参数，
∵曲线C₂的极坐标方程为2ρ=sinθ，
由2ρ=sinθ，得2ρ²=ρsinθ，∴${x}^{2}+{y}^{2}=\frac{1}{2}y$，
∴C₂的直角坐标方程式x²+（y-$\frac{1}{4}$）²=$\frac{1}{16}$．
（2）设P（$\sqrt{2}cosα，sinα$），曲线C₂的圆心为C₂，
由（1）知C₂（0，$\frac{1}{4}$），
∴|PF₂|=$\sqrt{（\sqrt{2}cosα）^{2}+（sinα-\frac{1}{4}）^{2}}$=$\sqrt{2co{s}^{2}α+si{n}^{2}α-\frac{1}{2}sinα+\frac{1}{16}}$
=$\sqrt{-si{n}^{2}α-\frac{1}{2}sinα+2+\frac{1}{16}}$=$\sqrt{-（sinα+\frac{1}{4}）^{2}+\frac{17}{8}}$，
当sinα=1时，|PC₂|取最小值$\frac{3}{4}$，此时|PQ|_min=$\frac{3}{4}-\frac{1}{4}$=$\frac{1}{2}$，
当sinα=-$\frac{1}{4}$时，|PC₂|取得最大值$\frac{\sqrt{34}}{4}$，
此时|PQ|_max=$\frac{\sqrt{34}}{4}$+$\frac{1}{4}$=$\frac{\sqrt{34}+1}{4}$，
综上知，|PQ|的取值范围为[$\frac{1}{2}$，$\frac{\sqrt{34}+1}{4}$]．

点评 本题考查曲线的参数方程和直角坐标方程的求法，考查线段的取值范围的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意两点间距离公式的合理运用．