Question

7．已知函数f（x）=a1nx，e为自然对数的底数．
（1）曲线f（x）在点A（1，f（1））处的切线与坐标轴所围成的三角形的面积为2，求实数a的值；
（2）若f（x）≥1-$\frac{1}{x}$恒成立，求实数a的值或取值范围．

Answer 1

分析 （1）求出曲线的切线方程，根据三角形面积公式求出a的值即可；
（2）问题等价于alnx+$\frac{1}{x}$-1≥0在（0，+∞）恒成立，令g（x）=alnx+$\frac{1}{x}$-1，而g（1）=0，只需x=1是函数的极值点即可求出a的值．

解答 解：（1）f（1）=aln1=0，f′（1）=a，
∴过A（1，0），斜率为a的直线方程是：
y=a（x-1），与x轴的交点是（1，0），与y轴的交点是（0，-a），
∴切线与坐标轴所围成的三角形的面积为：$\frac{1}{2}$|-a|×1=2，
解得：a=±4；
（2）若f（x）≥1-$\frac{1}{x}$恒成立，
等价于alnx+$\frac{1}{x}$-1≥0在（0，+∞）恒成立，
令g（x）=alnx+$\frac{1}{x}$-1，而g（1）=0，
∴只需g（x）在（0，1）递减，在（1，+∞）递增即可，
g′（x）=$\frac{a}{x}$-$\frac{1}{{x}^{2}}$=$\frac{ax-1}{{x}^{2}}$，∴g′（1）=a-1=0，解得：a=1．

点评 本题考查了求曲线的切线方程问题，考查函数恒成立问题，考查导数的应用，是一道中档题．