Question

17．设函数f（x）=ax²+lnx．
（1）当a=-1时，求函数y=f（x）的图象在点（1，f（1））处的切线方程；
（2）已知a＜0，若在定义域内f（x）+$\frac{1}{2}$≤0恒成立，求a的取值范围．

Answer 1

分析 （1）利用导数的几何意义可得切线的斜率，进而得到切线的方程；（2）问题转化为函数f（x）max≤-$\frac{1}{2}$-即可解出．

解答 解：（1）当a=-1时，由f（x）=-x²+lnx，
可得f′（x）=-2x+$\frac{1}{x}$，
∴f′（1）=-1，∴切线的斜率为-1．
又f（1）=-1，∴切点为（1，-1）．
故所求的切线方程为：y+1=-（x-1），即x+y=0．
（2）f′（x）=2ax+$\frac{1}{x}$=$\frac{2{ax}^{2}+1}{x}$=$\frac{2a{（x}^{2}+\frac{1}{x}）}{x}$，x＞0，a＜0．
令f′（x）=0，则x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$．
当x∈（0，$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$]时，f′（x）＞0；当x∈（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$，+∞）时，f′（x）＜0．
故x=$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$为函数f（x）的唯一极大值点，
∴f（x）的最大值为f（$\sqrt{-\frac{1}{2a}}$）=-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln（-$\frac{1}{2a}$）．
由题意有-$\frac{1}{2}$+$\frac{1}{2}$ln（-$\frac{1}{2a}$）≤-$\frac{1}{2}$，解得a≤-$\frac{1}{2}$．
∴a的取值范围为（-∞，-$\frac{1}{2}$]．

点评 本题考查了导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性极值与最值、恒成立问题的等价转化问题等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于中档题．