Question

8．若对一切正实数x，t，不等式$\frac{t}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{t}$都成立，则实数a的取值范围是[-3，3]．

Answer 1

分析 利用基本不等式得出cos²x+ssinx≤3，令sinx=m，则m²-am+2≥0在[-1，1]上恒成立，令f（m）=m²-am+2，则f_min（m）≥0．对f（m）的对称轴与区间[-1，1]的关系进行讨论列出不等式解出a．

解答 解：∵$\frac{t}{4}$-cos²x≥asinx-$\frac{9}{t}$恒成立，∴$\frac{t}{4}+\frac{9}{t}$≥asinx+cos²x恒成立．
∵$\frac{t}{4}+\frac{9}{t}$≥2$\sqrt{\frac{9}{4}}$=3，∴asinx+cos²x≤3恒成立．即sin²x-asinx+2≥0恒成立．
令sinx=m，则m²-am+2≥0在[-1，1]上恒成立．
令f（m）=m²-mt+2，则f（m）图象开口向上，对称轴为m=$\frac{a}{2}$．
（1）若$\frac{a}{2}$≤-1，即a≤-2时，f（m）在[-1，1]上是增函数，
∴f_min（m）=f（-1）=3+a≥0，解得-3≤a≤-2．
（2）若$\frac{a}{2}$≥1，即a≥2，则f（m）在[-1，1]上是减函数，
∴f_min（m）=f（1）=3-a≥0，解得2≤a≤3．
（3）若-1＜$\frac{a}{2}$＜1，即-2＜a＜2，则f（m）在[-1，1]上先减后增，
∴f_min（m）=f（$\frac{a}{2}$）=2-$\frac{{a}^{2}}{4}$≥0，解得-2＜a＜2．
综上，a的取值范围是[-3，3]．
故答案为：[-3，3]．

点评 本题考查了基本不等式，三角函数的性质，二次函数的单调性与最值，分类讨论思想，属于中档题．