Question

20．已知椭圆C：$\frac{x^2}{a^2}+\frac{y^2}{b^2}=1（{a＞b＞0}）$的离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，直线l：x+y-1=0与C相交于A，B两点．
（Ⅰ）证明：线段AB的中点为定点，并求出该定点坐标；
（Ⅱ）设M（1，0），$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{BM}$，当$a∈（{\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\sqrt{3}}）$时，求实数λ的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ） 由离心率得a²=3b²．，联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}-3{b^2}=0\\ x+y-1=0\end{array}\right.$，得4x²-6x+3（1-b²）=0，由此利用韦达定理能证明线段AB的中点为定点，并能求出该定点坐标．
（Ⅱ）由$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{BM}$，得x₁-1=λ（1-x₂），从而$λ+\frac{1}{λ}=\frac{1}{{3{b^2}-1}}+2$，由此能求出实数λ的取值范围．

解答 解：（Ⅰ） 由离心率为$\frac{{\sqrt{6}}}{3}$，得a²=3b²． …（2分）
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
联立$\left\{\begin{array}{l}{x^2}+3{y^2}-3{b^2}=0\\ x+y-1=0\end{array}\right.$，消去y得4x²-6x+3（1-b²）=0
故${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$，${x_1}{x_2}=\frac{{3（{1-{b^2}}）}}{4}$，…（4分）
所以$\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{3}{4}$，$\frac{{{y_1}+{y_2}}}{2}=1-\frac{{{x_1}+{x_2}}}{2}=\frac{1}{4}$．
故线段AB的中点为定点$（{\frac{3}{4}，\frac{1}{4}}）$． …（6分）
（Ⅱ）M（1，0），$\overrightarrow{MA}=λ\overrightarrow{BM}$，得x₁-1=λ（1-x₂）．…（8分）
结合${x_1}+{x_2}=\frac{3}{2}$解得${x_2}=\frac{{λ-\frac{1}{2}}}{λ-1}$，${x_1}=\frac{λ-2}{2（λ-1）}$．
由${x_1}{x_2}=\frac{{3（{1-{b^2}}）}}{4}$得$λ+\frac{1}{λ}=\frac{1}{{3{b^2}-1}}+2$．…（10分）
因为$a∈（{\frac{{\sqrt{7}}}{2}，\sqrt{3}}）$，故${b^2}∈（{\frac{7}{12}，1}）$，…（12分）
从而$λ+\frac{1}{λ}=\frac{1}{{3{b^2}-1}}+2∈（{\frac{5}{2}，\frac{10}{3}}）$． …（13分）
解得$λ∈（{\frac{1}{3}，\frac{1}{2}}）∪（{2，3}）$．  …（15分）

点评 本题考查线段的中点为定点的证明，考查实数值的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意椭圆性质的合理运用．