Question

10．若f（x）=kx³-x²+kx-4在R上无极值，则实数k的取值范围是（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）．

Answer 1

分析 函数无极值等价为函数为单调函数，求函数的导数，利用导数进行求解即可．

解答 解：函数的导数为f′（x）=3kx²-2x+k，
若函数无极值等价为函数为单调函数，即f′（x）≤0或f′（x）≥0恒成立，
若k=0，则f′（x）=-2x，则函数存在极值，不满足条件．
若k=≠0，则函数等价为f′（x）=0不存在两个根，即判别式△≤0，
即判别式△=4-12k²≤0，即k²≥$\frac{1}{3}$，即k≥$\frac{\sqrt{3}}{3}$或k≤-$\frac{\sqrt{3}}{3}$，
即实数k的取值范围（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞），
故答案为：（-∞，-$\frac{\sqrt{3}}{3}$]∪[$\frac{\sqrt{3}}{3}$，+∞）

点评 本题主要考查导数的综合应用，根据函数极值和导数之间的关系是解决本题的关键．利用转化法是解决本题的关键．