Question

1．设函数$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$．
（1）求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若$0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π$，$f（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，$f（\frac{α+β}{2}）=\frac{1}{2}-\frac{{7\sqrt{3}}}{18}$，求sinα的值．

Answer 1

分析 （1）使用和角公式及二倍角公式将f（x）展开合并化简，利用正弦函数的性质列出不等式解出；
（2）利用化简结果及$f（\frac{π}{4}-\frac{β}{2}）=\frac{1}{2}+\frac{{\sqrt{3}}}{6}$，$f（\frac{α+β}{2}）=\frac{1}{2}-\frac{{7\sqrt{3}}}{18}$求出cosβ，sin（α+β），结合角的范围解出sinβ，cos（α+β），使用差角的正弦公式计算sinα．

解答 解：（1）$f（x）=cos（2x+\frac{π}{3}）+{sin^2}x$=$cos2xcos\frac{π}{3}-sin2xsin\frac{π}{3}+\frac{1-cos2x}{2}=\frac{1}{2}-\frac{{\sqrt{3}}}{2}sin2x$．
令$\frac{π}{2}+2kπ≤2x≤\frac{3π}{2}+2kπ$，解得$x∈[\frac{π}{4}+kπ，\frac{3π}{4}+kπ]$，（k∈Z）．
∴函数f（x）的单调递增区间为$[\frac{π}{4}+kπ，\frac{3π}{4}+kπ]（k∈Z）$．
（2）∵f（$\frac{π}{4}$-$\frac{β}{2}$）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（$\frac{π}{2}-β$）=$\frac{1}{2}$-$\frac{\sqrt{3}}{2}$cosβ=$\frac{1}{2}+\frac{\sqrt{3}}{6}$，
f（$\frac{α+β}{2}$）=$\frac{1}{2}-$$\frac{\sqrt{3}}{2}$sin（α+β）=$\frac{1}{2}-\frac{7\sqrt{3}}{18}$，
∴$cosβ=-\frac{1}{3}$，$sin（α+β）=\frac{7}{9}$，
∵$0＜α＜\frac{π}{2}＜β＜π$，则∴$α+β∈（\frac{π}{2}，\frac{3π}{2}）$，
∴$sinβ=\sqrt{1-{{cos}^2}β}=\sqrt{1-{{（-\frac{1}{3}）}^2}}=\frac{{2\sqrt{2}}}{3}$.$cos（α+β）=-\sqrt{1-{{sin}^2}（α+β）}=-\sqrt{1-{{（\frac{7}{9}）}^2}}=-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}$．
∴$sinα=sin（α+β-β）=sin（α+β）cosβ-cos（α+β）sinβ=\frac{7}{9}×（-\frac{1}{3}）-（-\frac{{4\sqrt{2}}}{9}）×\frac{{2\sqrt{2}}}{3}=\frac{1}{3}$．

点评 本题考查了三角函数的恒等变换，三角函数的化简求值，正弦函数的性质，属于中档题．