Question

2．已知函数f（x）=e^x+ax-1（a∈R）．
（I）求f（x）的单调区间：
（Ⅱ）若f（x）≥x²对x≥0都成立，求实数a的取值范围．

Answer 1

分析 （Ⅰ）求出f（x）的导数，通过讨论a的范围，得到函数的单调区间即可；
（Ⅱ）问题转化为e^x+ax-1-x²≥0对x≥0恒成立，令g（x）=e^x+ax-1-x²，求出g（x）的导数，求出导函数的最小值是非负数即可求出a的范围．

解答 解：（Ⅰ）f′（x）=e^x+a，
a≥0时，f′（x）＞0，f（x）在R递增；
a＜0时，令f′（x）＞0，解得：x＞ln（-a），
令f′（x）＜0，解得：x＜ln（-a），
∴f（x）在（-∞，ln（-a））递减，在（ln（-a），+∞）递增；
（Ⅱ）若f（x）≥x²对x≥0都成立，
即e^x+ax-1-x²≥0对x≥0恒成立，
令g（x）=e^x+ax-1-x²，g（0）=0，
∴只需g（x）在[0，+∞）递增即可，
即g′（x）=e^x-2x+a≥0在[0，+∞）恒成立，
g″（x）=e^x-2，令g″（x）＞0，解得：x＞ln2，令g″（x）＜0，解得：x＜ln2，
∴g′（x）在（-∞，ln2）递减，在（ln2，+∞）递增，
∴只需g′（x）_min=g′（ln2）=2-2ln2+a≥即可，
解得：a≥2ln2-2．

点评 本题考查了求函数的单调性、最值问题，考查导数的应用，函数恒成立问题，是一道中档题．