Question

12．函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$$+\frac{x+1}{x+2}$+…+$\frac{x+2014}{x+2015}$的图象的对称中心为（-1008，2015）．

Answer 1

分析 化简函数的解析式，根据函数的解析式可得它的图象的对称性．

解答 解：函数f（x）=$\frac{x}{x+1}$$+\frac{x+1}{x+2}$+…+$\frac{x+2014}{x+2015}$=1-$\frac{1}{x+1}$+1-$\frac{1}{x+2}$+1-$\frac{1}{x+3}$+…+1-$\frac{1}{x+2015}$=2015-（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2015}$ ），
它的定义域为{x|x≠-1，x≠-2，x≠-3，…，x≠-2015}，$\frac{-1+（-2015）}{2}$=-1008．
又 f（-2016-x）=2015+（$\frac{1}{x+1}$+$\frac{1}{x+2}$+$\frac{1}{x+3}$+…+$\frac{1}{x+2015}$ ），∴f（x）+f（-2016-x）=4030，
故f（x）的图象的对称中心为（-1008，2015），
故答案为：（-1008，2015）．

点评 本题主要考查函数的图象的对称性，属于中档题．