Question

17．已知椭圆$\frac{{x}^{2}}{8}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1，问当m，k满足何种条件时，直线y=kx+m与椭圆E恒有两个交点A、B，且$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$．

Answer 1

分析 设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，得（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，利用△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，结合韦达定理、向量知识，即可求出实数m的取值范围．

解答 解：设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
把直线方程y=kx+m代入椭圆方程，消去y，得
（2k²+1）x²+4kmx+2m²-8=0，
∴x₁+x₂=-$\frac{4km}{1+2{k}^{2}}$，x₁x₂=$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$，
∴y₁y₂=（kx₁+m）（kx₂+m）=k²x₁x₂+km（x₁+x₂）+m²=$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$，
∵$\overrightarrow{OA}$⊥$\overrightarrow{OB}$，∴x₁x₂+y₁y₂=0，
∴$\frac{2{m}^{2}-8}{1+2{k}^{2}}$+$\frac{{m}^{2}-8{k}^{2}}{1+2{k}^{2}}$=0，
∴k²=$\frac{3{m}^{2}-8}{8}$，
∵△=16k²m²-4×（2k²+1）（2m²-8）=64k²-8m²+32＞0，
∴24m²-8m²-32＞0，
可得m²＞2，又k2≥0，即有m²≥$\frac{8}{3}$，
∴k，m的条件为k∈R，且m≥$\frac{2\sqrt{6}}{3}$或m≤-$\frac{2\sqrt{6}}{3}$．

点评 本题考查椭圆方程和简单几何性质，直线与椭圆的位置关系等基础知识．考查运算求解能力，推理论证能力，化归与转化思想，属于中档题．