Question

9．函数f（x）=ax³+bx²+cx+d在x=0处的切线方程为8x+y-1=0，且函数f（x）在x=-2和x=4处有极值．
（1）求函数f（x）的解析式；
（2）求函数f（x）在x∈[-3，3]的最大值．

Answer 1

分析 （1）求出函数的导数，根据函数在x=0处的切线方程为8x+y-1=0，求出c=-8，根据-2，4是导函数的根，解关于a，b的方程，由曲线过（0，1）点求出d，从而求出函数的表达式即可；
（2）求出函数的导数，得到函数的单调区间，从而求出函数的最大值即可．

解答 解：（1）∵函数f（x）=ax³+bx²+cx+d，
∴f′（x）=3ax²+2bx+c，
∵函数在x=0处的切线方程为8x+y-1=0，
∴f′（0）=c=-8，曲线过（0，1）点，
又函数f（x）在x=-2和x=4处有极值，
∴-2，4是方程f（x）=0的两个根，
∴$\left\{\begin{array}{l}{12a-4b-8=0}\\{48a+8b-8=0}\end{array}\right.$，解得：$\left\{\begin{array}{l}{a=\frac{1}{3}}\\{b=-1}\end{array}\right.$，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-8x+d，①，
∵曲线过（0，1）点，将（0，1）代入①得d=1，
∴f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-8x+1；
（2）由（1）得：f（x）=$\frac{1}{3}$x³-x²-8x+1，
f′（x）=x²-2x-8=（x-4）（x+2），
令f′（x）＞0，解得：x＞4或x＜-2，
令f′（x）＜0，解得：-2＜x＜4，
∴f（x）在[-3，-2）递增，在（2，3]递减，
f（x）_最大值=f（-2）=$\frac{31}{3}$．

点评 本题考查了求函数的表达式问题，考查导数的应用，函数的单调性以及最值问题，是一道中档题．