Question

1．己知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线，f（1+x）=f（1-x），f（1）=a，且0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜f（x），则f（x）在[2015，2016]上的最大值为-a．

Answer 1

分析 由题意求出函数的周期，根据函数的周期性求出函数在[2015，2016]的单调性，转化f（2015）=-f（1），从而求出函数的闭区间上的最大值即可．

解答 解：∵己知定义在R上的奇函数f（x）的图象为一条连续不断的曲线，
∴f（-x）=-f（x），
∵f（x+1）=f（1-x），
∴f（x+2）=f[（x+1）+1]=f[1-（x+1）]=f（-x）=-f（x），
即f（x+2）=-f（x），
f（x+4）=-f（x+2），
∴f（x+4）=f（x），
∴函数的周期为4，
0＜x＜1时，f（x）的导函数f′（x）满足：f′（x）＜0，
∴f（x）在（0，1）递减，f（x）在[2015，2016]递减，
∴f（2015）=f（4×504-1）=f（-1）=-f（1），
∵f（1）=a，
∴f（2015）=-f（1）=-a，
故f（x）在[2015，2016]上的最大值为为：f（2015）=-a，
故答案为：-a．

点评 本题考查函数的奇偶性、周期性的应用，函数值的求法以及函数的单调性问题，考查计算能力，是一道中档题．