Question

11．对某校高一年级学生参加社区服务次数进行统计，随机抽取M名学生作为样本，得到这M名学生参加社区服务的次数．根据此数据作出了频数与频率的统计表和频率分布直方图如下：

分组	频数	频率
[10，15）	10	0.25
[15，20）	25	n
[20，25）	m	p
[25，30）	2	0.05
合计	M	1

（1）求出表中M、p及图中a的值；
（2）试估计他们参加社区服务的平均次数；
（3）在所取样本中，从参加社区服务的次数不少于20次的学生中任选2人，求至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．

Answer 1

分析 （1）由频率=$\frac{频数}{总数}$，能求出表中M、p及图中a的值．
（2）由频数与频率的统计表和频率分布直方图能求出参加社区服务的平均次数．
（3）在样本中，处于[20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b，由此利用列举法能求出至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率．

解答 解：（1）由题可知$\frac{10}{M}$=0.25，$\frac{25}{M}$=n，$\frac{m}{M}$=p，$\frac{2}{M}$=0.05．
又10+25+m+2=M，
解得M=40，n=0.625，m=3，p=0.075．
则[15，20）组的频率与组距之比a为0.125．（4分）
（2）参加社区服务的平均次数为：$\frac{10+15}{2}×\frac{1}{4}+\frac{35}{2}×\frac{25}{40}+\frac{45}{2}×\frac{3}{40}+\frac{55}{2}×\frac{2}{40}=\frac{137}{8}≈17$次   （8分）
（3）在样本中，处于[20，25）内的人数为3，可分别记为A，B，C，
处于[25，30]内的人数为2，可分别记为a，b．
从该5名学生中取出2人的取法有：
（A，a），（A，b），（B，a），（B，b），（C，a），（C，b），
（A，B），（A，C），（B，C），（a，b），共10种，
至少1人在[20，25）内的情况有共9种，
∴至少1人参加社区服务次数在区间[20，25）内的概率为$\frac{9}{10}$．（12分）

点评 本题考查频率分布表和频率分布直方图的应用，考查概率的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意列举法的合理运用．