Question

6．已知点A（1，0），点P是圆F：（x+1）²+y²=20上一动点，线段AP的垂直平分线交FP于点M，记点M的轨迹为曲线C．
（1）求曲线C的方程；
（2）已知点B（0，$\sqrt{5}$），D（-4，0），若直线l：y=kx+$\sqrt{5}$与曲线C有两个不同的交点G和H，是否存在常数k，使得向量（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）⊥$\overrightarrow{BD}$（O为坐标原点）？如果存在，求出k的值；如果不存在，请说明理由．

Answer 1

分析 （1）求得F（-1，0），圆F的半径，运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，即可得到所求轨迹方程；
（2）将直线y=kx+$\sqrt{5}$代入椭圆4x²+5y²=20，设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），运用韦达定理和判别式，假设（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）⊥$\overrightarrow{BD}$，运用向量垂直的条件：数量积为0，解方程可得k，即可判断．

解答 解：（1）由题意可得F（-1，0），圆F的半径为2$\sqrt{5}$，
|MF|+|MA|=|MF|+|MP|=|FP|=2$\sqrt{5}$＞|FA|=2，
由椭圆的定义可得，M的轨迹为以F，A为焦点，长轴长为2$\sqrt{5}$的椭圆，
即有a=$\sqrt{5}$，c=1，b=$\sqrt{{a}^{2}-{c}^{2}}$=2，
则曲线C的方程为$\frac{{x}^{2}}{5}$+$\frac{{y}^{2}}{4}$=1；
（2）将直线y=kx+$\sqrt{5}$代入椭圆4x²+5y²=20，可得
（4+5k²）x²+10$\sqrt{5}$kx+5=0，①
设G（x₁，y₁），H（x₂，y₂），可得x₁+x₂=-$\frac{10\sqrt{5}k}{4+5{k}^{2}}$，
$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$=（x₁+x₂，y₁+y₂），y₁+y₂=k（x₁+x₂）+2$\sqrt{5}$=$\frac{8\sqrt{5}}{4+5{k}^{2}}$，
由B（0，$\sqrt{5}$），D（-4，0），可得$\overrightarrow{BD}$=（-4，-$\sqrt{5}$），
若（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）⊥$\overrightarrow{BD}$，即有（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）•$\overrightarrow{BD}$=0，
即有-4（x₂+x₁）-$\sqrt{5}$（y₁+y₂）=0，
可得-4•（-$\frac{10\sqrt{5}k}{4+5{k}^{2}}$）-$\frac{40}{4+5{k}^{2}}$=0，
解得k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$，
当k=$\frac{\sqrt{5}}{5}$时，方程①的判别式为500k²-20（4+5k²）=0不满足题意．
故不存在这样的常数k，使得（$\overrightarrow{OG}$+$\overrightarrow{OH}$）⊥$\overrightarrow{BD}$．

点评 本题考查轨迹方程的求法，注意运用垂直平分线的性质和椭圆的定义，考查直线方程和椭圆方程联立，运用韦达定理，同时考查向量垂直的条件：数量积为0，化简整理的运算能力，属于中档题．