Question

15．已知x，y为正实数，且x+2y=1，则$\sqrt{xy}$的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$，$\frac{2x+y}{xy}$的最小值是9．

Answer 1

分析 第一问由题意可得1=x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，解不等式可得；
第二问整体代入法可得$\frac{2x+y}{xy}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）（x+2y）=5+$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{y}$，由基本不等式可得．

解答 解：∵x，y为正实数，且x+2y=1，
∴1=x+2y≥2$\sqrt{2xy}$，解得$\sqrt{xy}$≤$\frac{\sqrt{2}}{4}$，
当且仅当x=2y时取等号，
解$\left\{\begin{array}{l}{x+2y=1}\\{x=2y}\end{array}\right.$可得$\left\{\begin{array}{l}{x=\frac{1}{2}}\\{y=\frac{1}{4}}\end{array}\right.$，
∴$\sqrt{xy}$的最大值是$\frac{\sqrt{2}}{4}$；
∴$\frac{2x+y}{xy}$=$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$=（$\frac{1}{x}$+$\frac{2}{y}$）（x+2y）
=5+$\frac{2y}{x}$+$\frac{2x}{y}$≥5+2$\sqrt{\frac{2y}{x}•\frac{2x}{y}}$=9，
当且仅当$\frac{2y}{x}$=$\frac{2x}{y}$即x=y=$\frac{1}{3}$时取等号．
∴$\frac{2x+y}{xy}$的最小值是9，
故答案为：$\frac{\sqrt{2}}{4}$；9．

点评 本题考查基本不等式求最值，涉及整体代入的思想，属中档题．